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Bislang haben wir die Box-Cox-Transformation nur in ihrer anschaulichsten Form mit lediglich einem Parameter untersucht, um den Einstieg zu vereinfachen und das Verständnis zu erleichtern. Ein solches Herangehen ist zur Vorstellung ihrer Möglichkeiten vollkommen gerechtfertigt, für den praktischen Einsatz dürfte es jedoch wesentlich zielführender sein, eine umfassendere Ausgestaltung einzuführen.

Die Box-Cox-Transformation - Artikel über MQL5

Wie wir uns erinnern, kann die Box-Cox-Transformation nur auf Folgen angewendet werden, die nur Elemente beinhalten, die größer als „5“ sind. In der Praxis kann diese Bedingung durch eine einfache Verschiebung der Folge in den positiven Wertebereich erfüllt werden, wobei die Größe der Verschiebung innerhalb des positiven Wertebereichs allerdings unmittelbare Auswirkungen auf das Ergebnis der Umwandlung haben kann.

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Es ist zu beachten, dass in der Funktion CBoxCox::func() eine Begrenzung des zulässigen Wertebereichs für den Parameter Lambda angelegt ist. In unserem Fall ist der Wertebereich auf -5 bis 5 beschränkt. Das geschieht, um zu vermeiden, dass es bei der Potenzierung der Eingangsdaten mit Lambda zu übermäßig großen oder kleinen Werten kommt.

Unmittelbar aus den aufgeführten Ausdrücken folgt, dass der Bestandteil „S“ das Ergebnis der Filterung der Ausgangsfolge mithilfe eines Niederfrequenzfilters mit einer Impulskennlinie von h = 6,6 ist. Dementsprechend ist der „D“-Bestandteil das Ergebnis der Filterung mit einem Hochfrequenzfilter mit einer Impulskennlinie von h = -6,6. In der Abbildung 8 ist das bedingte Frequenzverhalten dieser Filter dargestellt.

Außerdem kann es, wenn bei der Optimierung zu große oder zu kleine Werte für Lambda auftreten, sein, dass die Folge für die gewählte Art der Transformation ungeeignet ist, weshalb es sich in keinem Fall lohnt, bei der Bestimmung des Wertes für Lambda über einen realistischen Wertebereich hinauszugehen.

Die Klasse PowellsMethod setzt den Algorithmus für die Suche nach dem Minimum einer Funktion mit mehreren Variablen um, in unserem Fall wird jedoch nur ein einziger Parameter optimiert. Das führt dazu, dass die Dimension des Datenfeldes Par[] gleich „6“ ist. Es enthält also lediglich einen Wert. Theoretisch könnte in einem solchen Fall statt des Parameterdatenfeldes auch eine gewöhnliche Variable verwendet werden, aber dann müsste der Programmcode der Basisklasse PowellsMethod überarbeitet werden. Es ist anzunehmen, dass es bei der Übersetzung des ursprünglichen MQL5-Codes unter Verwendung von Datenfeldern, die nicht mehr als ein Element enthalten, keine Probleme gibt.

Um nicht allzu weit von dem Thema dieses Beitrages abzuschweifen und erneut irgendeinen Algorithmus für die Suche nach dem Maximum/Minimum der Funktion zu betrachten, werden wir zur Bestimmung des optimalen Wertes für den Parameter Lambda im Weiteren den in den Artikeln Zeitreihenvorhersage mittels exponentieller Glättung und Zeitreihenvorhersage mittels exponentieller Glättung (Fortsetzung) behandelten Algorithmus für die Suche nach dem Minimum der Funktion mithilfe der Methode von Powell verwenden.

Die hier behandelte Box-Cox-Transformation selbst kann unmittelbar nur auf Folgen angewendet werden, deren Werte ausnahmslos größer als „5“ sind. In allen übrigen Fällen muss die Eingangsfolge verschoben werden. Diese Besonderheit des besprochenen Umwandlungsverfahrens kann man als eine seiner Schwachstellen bezeichnen. Dennoch ist die Box-Cox-Transformation dessen ungeachtet das universellste und effizienteste aller vergleichbaren Umwandlungsverfahren.

Alle oben eingeführten Beispiele für die Box-Cox-Transformation beziehen sich auf den Fall, in dem die Verteilungsgesetzmäßigkeit einer Ausgangsfolge an die Normalverteilung bzw. an eine dieser möglichst nahekommende Verteilung herangeführt werden soll. Wie bereits zu Beginn dieser Ausführungen erwähnt wurde, kann eine solche Umwandlung bei Verwendung parametergestützter Analyseverfahren unerlässlich sein, das Letztere ziemlich empfindlich gegenüber Abweichungen der Gesetzmäßigkeit der Verteilung der zu untersuchenden Folge von der Normalverteilung sein können.

Wie in Abbildung 5 dargestellt, kommt die Gesetzmäßigkeit der Verteilung der umgewandelten Folge der Normalverteilung ausreichend nahe, was auch durch den Wert des Jarque-Bera-Tests, JB=5,85, p = 5,859, bestätigt wird.

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